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かけ算とウサギの耳。
2007 / 10 / 17 ( Wed )
こんばんは。今日も、算数でかけ算の意味について子どもたちに教えていました。

ポイントは、(1つのおさらに)○こずつ×○さら分=全部の数 という言葉です。
「○さら分」の数を出すことに戸惑う子が多いですが、練習を繰り返して慣れさせていってます。
絵や写真から、この言葉が見いだせる子は、もうかけ算の意味が理解ができたも同然だからです。

「○こずつ×△さら分」という順番もかなり大事なんです。
もちろんかけ算は、かけられる数とかける数を逆にしても答えは同じになるのですが、
かけ算の最初の段階では、この順番を重視しています。

だから、2×3と3×2では、意味が変わってしまうんです。
分かりやすく、ウサギの耳の数を例えに出してみましょう。
絵で書くとこうなります。

2×3は、「2つずつ」のものが「3びき」いることになりますので、
07101601

このように書き表すことができます。


しかし、3×2は「3こずつ」のものが「2ひき」という意味ですので・・・
07101602

!?

こんなことになってしまいます。


算数は計算ができればいいというものではなく、思考する学習です。
「答えが同じだからいいじゃないかよ。」とはおっしゃらずに、
式を言葉や絵に直すことも算数の力を伸ばすために必要なものだと思っています。


↓そんな小学校教師の1日でした。
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テーマ:小学校 - ジャンル:学校・教育

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コメント
--ちょっと違うのでは?--

>2×3は、「2つずつ」のものが「3びき」いること、3×2は「3こずつ」のものが「2ひき」という意味です。

これは貴方が勝手にそう思いこんでるだけですよね。
3×2は「3びき」に「2つずつ」って考えちゃいけないんですかね。考え方を固定する様な教育はして欲しくないなぁ。正しい考え方に基づく計算なら逆でも正解でしょ。
by: MQL * 2007/12/17 21:26 * URL [ 編集] | page top↑
----

こんばんは。ご指摘ありがとうございます。
ワタシなりに調べてみました。

確かに、かけ算はかける数とかけられる数を入れ替えても答えは同じになる計算ですから、3×2を「3びきに2こずつ」と解釈しても間違っていないと思います。
「2こずつを3びき」と「3びきに2こずつ」と言っても、意味は通じますからね。

ただ、「×3」という表現に注目してください。
「×3」を「3倍」という言葉で表すと、やはり「2の3倍」の方が「3倍の2」というより自然な感じがしませんか。

だから、確かに答えは同じですが、
2×3=2+2+2 であると解釈したいと思っています。

十分なお答えではないと思いますが、いかがですか。また、どうぞご指摘下さい。






by: うるとらまる * 2007/12/17 23:20 * URL [ 編集] | page top↑
--でも、せんせい--

3人の子供がりんごを7こづつ持っています。
りんごは全部で何個あるでしょう

まちがいとされた解答
7x3=21
答え 21 こ



子)答えが同じ21こなのに、どうしてまちがいなんですか

師)7人の子供がりんごを3こづつ持っていることになってしまうからです。

子)でも、わたしは7このりんごを持った子が3人いると考えたから、
この式でも正しいと思います。

師)だめです。3人の子供がりんごを7こづつ持っているのと、
7このりんごを持った子が3人いるのは、ぜんぜん違うからです。
by: Optimist-P * 2009/05/25 02:03 * URL [ 編集] | page top↑
--かけ算の順序はどちらでもいいと思います。--

 はじめまして。突然失礼します。かけ算の順序について、ずっと調べている者です。文科省に問い合わせたところ、「順序にこだわって教えるな教え方」を推奨してはいないと言うことでした。

 そもそも、かける数とかけられる数を原理的に区別することは出来ないと考えます。

 順序を交換しても常に答えが同じと言うことは、本質的に同じだからです。本質的に同じで原理的に峻別できないことを、区別するように強要する意味が理解できません。

>しかし、3×2は「3こずつ」のものが「2ひき」という意味ですので・・・こんなことになってしまいます。

3匹兎がいる。まず、右の耳は3本。次に左の耳も3本。だから、3+3と言うのはどうですか?

5人に3個ずつ蜜柑を配る


3+3+3+3+3 と解釈するのが普通科もしれないが、

5人に1個ずつ蜜柑を配る。次に、2個目を配る。3個目を配る。

とすれば、5+5+5 ともいえる。

■■■■■
■■■■■
■■■■■

かけ算の順序を交換しても答えが同じであることをこのようなイメージでとらえている子にとって、どちらがかける数でかけられる数かという問いそのものがナンセンスで無意味だと思います。
by: 積分定数 * 2009/06/03 22:31 * URL [ 編集] | page top↑
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はじめまして
私も、日本における「かけ算の順序の意味がある」というローカルルールに疑問を持っている者です。専門は物理学です。

>「×3」という表現に注目してください。

とありますが、「3×」も同様に「3倍する」という意味を持ち得ます。

英語では
n×m は n times m
つまり「 n 回の m 」となります。

time を使わない表現でも

1×3=3 は One three is three.
2×3=6 は Two threes are six.
3×3=9 は Three threes are nine.
と表され、

1× のときは three(単数形)で動詞は is
2× と 3× の時は threes(複数形)で動詞は are

ということからも、「□倍」を「□×」と表していることがわかります。

ということで、「数学の記号は国際的に通用するもの」であることからも、順序には意味はない、といえます。

(1あたりの数)×(個数)=(全体の数)
は真理ですが
(個数)×(1あたりの数)=(全体の数)
も同様に真理です。

ウサギの例で、次元(単位)のみに着目すれば
(本/匹)×(匹)=(本)
(匹)×(本/匹)=(本)
となり、違いはありません。
by: みゅーれん * 2009/06/09 01:20 * URL [ 編集] | page top↑
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兎(片耳)を数えて(3)、後から耳(もう片耳)の数だけ足す(×2)か
両耳の数えて(2)、兎の数だけ足すか(×3)

交換法則が成り立つから、答えは同じだけど
九九の1の段、2の段のようにして(段の数×個数)
兎の段、耳の段って分けると

耳(2)×兎(1)  兎(2)×耳(1)
耳(2)×兎(2)  兎(2)×耳(2)
耳(2)×兎(3)  兎(2)×耳(3)

となるかと(外国は知りませんが)

どちらがどちらかはお任せします
by: がんばれ先生! * 2010/11/14 11:42 * URL [ 編集] | page top↑
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>がんばれ先生!
兎×耳で計算する人は、×の前の部分を変動させていくので全く問題ないでしょう。

兎(1)×耳(2)
兎(2)×耳(2)
兎(3)×耳(2)

九九は掛け算の計算を安易にするための記憶法であり
掛け算の意味を表すため方式ではないと思います。
(もちろん九九の□の段は、「□が何個」という考え方で間違いないでしょうが。)
by: srm * 2012/01/04 00:24 * URL [ 編集] | page top↑
--遠山啓氏の理念を理解しておられますか?--

(最初の方の質問と重複するようですが。)
これでは「ウサギが3匹(羽)いるとき耳の数は全部でいくつ?」という問題で、「3×2と解くのは間違いだ」という誤った認識を子どもに与えてしまうのではないでしょうか?

1あたり量を、「1匹のうさぎの耳の数」とおくと、おっしゃるとおりです。

しかし、「1回に数える片耳の数(右の耳の総数を調べてから、左の耳の総数を調べる)」とおけば、式は3×2となり、こう考えてもよい、というのは、他ならぬこの定義(1あたり量×いくつ分=全体量)でかけ算を教えようと提唱した遠山啓氏自身がおっしゃっていたことです。
たしか「量とは何か<1>内包量・外延量」にあったはずです。
by: れんげ * 2012/04/11 22:41 * URL [ 編集] | page top↑
--困った問題です--

ウサギと耳の計算で、ウサギ一匹当たり2本の耳が有ると考えた場合には、正しい順番という考え方が有ることは理解しました。

しかし、全ての掛け算に正しい順番が存在すると誤解しないか心配です。

例えば、3人の女の子と、2人の男の子が挨拶をします。女の子一人と男の子一人が挨拶するのを1回と数えて、全員が挨拶すると何回になりますか?ただし、女の子どうし、男の子どうしは挨拶しません。

正解は3x2ですか?2x3ですか?

全ての掛け算で正しい順番が必要とは限らないことぐらい、少し考えれば子供にも分かります。

どうしても正しい順番について教えるのであれば、正しい順番が有る場合と、無い場合を正確に教える必要があります。

そうしないと特に理系の分野に進学した時に苦労する結果になるでしょう。
by: syoujyou * 2012/09/15 14:48 * URL [ 編集] | page top↑
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世の中は、3×2と2×3を区別していません。

そのことはいつ教えるのでしょうか。

まさか、世の中に通じないことを教えたままにしてないですよね。
by: がんばれ先生! * 2012/12/22 02:56 * URL [ 編集] | page top↑
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順序派は教科書会社の作った指導書(検定の対象外)を鵜呑みにして文科省の指導要領やその解説書(交換法則を理解させろと明記)を読んでないのがよくわかりますね。探究心を持たず惰性で教えているのでは子どもの学習意欲を削いでしまい迷惑です。文章を読み解けているかどうかは、交換法則を無視するかどうかではなく国語の時間に判定してください。
by: grumpy * 2013/11/23 12:25 * URL [ 編集] | page top↑
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